Spin Calogero - Moser systems associated with simple Lie algebras ( In memory of Jürgen Moser ) Luen - Chau

We introduce spin Calogero-Moser systems associated with root systems of simple Lie algebras and give the associated Lax representations (with spectral parameter) and fundamental Poisson bracket relations. Our analysis is based on a group-theoretic framework similar in spirit to the standard classical r-matrix theory for constant r-matrices. Systèmes de Calogero Moser à spins associés aux algèbres de Lie simples Résumé Nous introduisons des systèmes de Calogero Moser avec spins associés aux systèmes de racines des algèbres de Lie simples et en donnons les représentations de Lax (avec paramètre spectral) associées ainsi que les crochets de Poisson fondamentaux. Notre analyse est basée sur une approche par la théorie des groupes dont l’esprit est similaire à la théorie standard de la r− matrice classique pour les matrices r constantes. Version française abrégée Le système sl(N) rationnel de Calogero-Moser avec spins a été introduit par Gibbons et Hermsen [6] comme généralisation des systèmes à plusieurs particules de Calogero et Moser. Ainsi qu’ en l’absence de spin, il existe aussi des versions trigonométriques et elliptiques de ces généralisations. Ces dernières années, ces modèles ont fait l’objet d’une certaine attention du fait de leur intérêt dans des contextes divers (voir , par exemple, [9], [3], [4], [7]). Du point de vue des systèmes intégrables, les crochets de Poisson fondamentaux entre les éléments de matrices de l’opérateur de Lax associé L de ces modèles présentent une caractéristique inhabituelle [2] [3]; outre les termes usuels contenant la matrice r (dynamique) et l’opérateur de Lax L, il apparait un terme d’anomalie dont la présence est une obstruction à l’intégrabilité. Dès lors, dans [2] [3],, par exemple, on montre que pour sl(N), les modèles sont ”intégrables” seulement sous certaines contraintes additionnelles portant sur les variables de spin. Il est à noter que, bien que le calcul de matrices r dynamiques ∗Research partially supported by NSF grant DMS97-04391.